股票價(jià)格與幾何布朗運(yùn)動(dòng)，幾何布朗運(yùn)動(dòng)又稱指數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)，是連續(xù)時(shí)間內(nèi)的隨機(jī)過(guò)程，其中隨機(jī)變量的對(duì)數(shù)遵循布朗運(yùn)動(dòng)。幾何布朗運(yùn)動(dòng)已應(yīng)用于金融數(shù)學(xué)中模擬股票價(jià)格的布萊克-斯科爾斯模型。

　　在描述股票的變化是在沒(méi)有分紅之前，先解釋兩個(gè)名詞。

　　1.漂移率：,股票價(jià)格變動(dòng)的絕對(duì)值以元為單位，是通過(guò)兩次減去股票價(jià)格得到的。

　　2.收益率：股票價(jià)格的百分比變化是一個(gè)比例，它是由漂移率和初始股票價(jià)格除以得到的。

　　當(dāng)我們談到廣義維納過(guò)程時(shí)，有些人可能認(rèn)為這個(gè)模型可以描述股價(jià)的變化?？此普_，實(shí)則不然。這個(gè)模型不適合描述股價(jià)變化。因?yàn)橥顿Y者關(guān)心并要求收益率，不要漂移。因?yàn)檫@個(gè)要求，它也反過(guò)來(lái)影響股票價(jià)格，導(dǎo)致股票價(jià)格的某些收益率特征。因此它是描述收益率模型的合適模型，讓我們假設(shè)收益率對(duì)構(gòu)建模型的期望保持不變。

　　假設(shè)股票價(jià)格變化沒(méi)有不確定性

　　如果收益率期望是常數(shù)，t是S的股價(jià)，那么股票漂移率的期望應(yīng)該是 s，S的變化可以用dS=μSdt來(lái)描述。為了便于積分，把含有S的項(xiàng)拿到一邊，得到dS/s=dt，兩邊積分。最后，時(shí)間t時(shí)S的值可以表示為：

　　股價(jià)的變化不存在不確定性，即股價(jià)的價(jià)值是在未來(lái)某一時(shí)刻確定的，因此分布的方差為0。

　　股票價(jià)格變化存在不確定性

　　股價(jià)的變化是存在不確定性的，即未來(lái)某一時(shí)刻股價(jià)的價(jià)值是不確定的，因此可以用分布來(lái)描述，分布的方差不為零，波動(dòng)率為常數(shù)，描述S的變化，我們可以用dS=μSdt+σSdz。同樣，把包含S的項(xiàng)放在一邊，得到dS/S=μdt+σdz。這是描述股價(jià)行為最廣泛的模型。

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)

　　這種股價(jià)變化模型被稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)，或者是股價(jià)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，如果S服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其隨機(jī)微分方程為：dS/S=μdt+σdz或者dS=μSdt+σSdz或者。因?yàn)棣舿N(0,1)，所以

      用幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述股價(jià)的原因：

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)的預(yù)期獨(dú)立于隨機(jī)過(guò)程的股價(jià)，這與我們對(duì)真實(shí)市場(chǎng)的預(yù)期一致。

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程只考慮正價(jià)格，就像真實(shí)股票價(jià)格一樣。

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程顯示出與我們?cè)诠墒兄杏^察到的價(jià)格軌跡相同的“粗糙度”。

　　幾何布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程的計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單。